.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
.- QUE ES MOVIMIENTO OSCILATORIO
.- QUE ES MOVIMIENTO PERIÓDICO
.- QUE ES EQUILIBRIO ESTABLE
.- QUE ES EL ESTADO DEL MOVIMIENTO
.- POSICIÓN
.- VELOCIDAD
.- ACELERACIÓN
.- ENERGÍA MECÁNICA
.- PÉNDULO SIMPLE
Movimiento
armónico simple.
Introducción
Hay muchas situaciones en física en las cuales
la fuerza que siente una partícula en cierto sistema es proporcional a un
desplazamiento respecto cierto punto “de equilibrio”. Es decir, existen
sistemas para los cuales es válida la ley de Hooke
F = −Kx
o al menos, lo es manteniendo el móvil entre
ciertos límites. Este sistema se dice de ellos que describen un movimiento
armónico simple. La intención de este apartado es estudiar este tipo de
movimientos, dada su importancia y su sencillez. ¦
En todo
el estudio que se haga en este capítulo se tratara el problema. Nota de manera
unidimensional. ◦ Se puede demostrar que la gran mayoría de los sistemas que
tiene un punto de equilibrio estable admiten un tratamiento armónico para
pequeñas ˜ Ampliación oscilaciones en torno a dicho punto. Esto se puede ver
desarrollando en serie de Taylor (en matemáticas:
es una aproximación de funciones mediante una serie
de potencias o suma de potencias enteras de polinomio como ( x - a)n
llamados términos de la serie) alrededor del punto y dándose
cuenta de que como la primera derivada será nula el primer término que
aparecerá será, precisamente, el término de un potencial armónico: k/2 X2
DINÁMICA DEL
SISTEMA.
Ecuación del
movimiento
Si aplicamos la ley de Newton F = m.a junto con la ley de Hooke, obtendremos que
m.a = −Kx ⇒ m.a + Kx = 0.
Esta
sencilla ecuación es, no obstante, algo más complicada de resolver que otras
anteriores, puesto que las magnitudes involucradas, a y x dependen La una de la
otra, concretamente como
a
= dx/dt2
dx/dt2 + K/m x = 0
que constituye una ecuación diferencial, ya que
involucra derivadas de funciones con la propia función. Resolver esta ecuación
está bastante más allá del ´ámbito de este curso, pero aun´ así es fácil darse
cuenta de que las funciones sen y cos van a tener algo que ver, dado que
son las únicas ´ que al ser derivadas dos veces y sumadas consigo mismas dan
nulo. Manipulando algunos coeficientes en estas funciones y operando se
encuentra la solución más general a este movimiento, que es
x = A sen (ωt + φ)
y que por tanto constituye la ecuación de
movimiento de un sistema que cumpla la ley de Hooke, o bien de un movimiento
armónico simple.
Significado de la ecuación En esta ecuación A es la amplitud máxima que puede
recorrer el móvil, ω es la frecuencia angular de la
oscilación, es decir, el numero ´ de “radianes” que da en un segundo. Como
parece que las palabras radian no tiene sentido para un muelle, por ejemplo,
quizás sea preferible pensar en la frecuencia del movimiento f = ω/2π es decir, el numero ´ de
oscilaciones completas que da en un segundo, o bien tomar T = 2π/ω el
periodo de la oscilación, que será el tiempo que tarda nuestro sistema en dar
una oscilación completa. Por ultimo ´ ¿qué será φ?. Notemos que, si tomamos t = 0 tendremos que
en el instante 0, el cuerpo que realiza un movimiento estaba en la posición x = sen(φ), por lo que φ, parámetro al que se conoce con el
nombre de fase, nos indica cuando empieza el movimiento.
Periodicidad de la ecuación.
Fijándose en la ecuación x = Asen (ω t +Φ ) se puede observar que, la existencia
de una función seno para describir este movimiento, nos va a llevar
irremediablemente hacia un movimiento de tipo periódico. Efectivamente, si
tuviéramos un resorte perfecto, este estaría oscilando “eternamente” describiendo
el mismo movimiento en cada oscilación. Para adivinar cada cuanto se repite el
movimiento bastara igualar el argumento del seno a 2π, pues como se sabe sen (2π + φ) = sin(φ). De esta manera tendremos que el
movimiento se repetirá, esto es, hará un periodo, cuando ωt = 2π, lo cual
supone que el periodo T será, como ya habíamos dicho, T = 2π/ω.
Es también
frecuente describir el movimiento armónico simple como la analogía de una
proyección sobre el eje OY o bien OX de un movimiento circular de velocidad
angular constante ω.
Velocidad
Para hallar
la velocidad que un móvil sometido a una fuerza armónica presenta en un
instante t basta derivar su ecuación del movimiento. Así tendremos que, como
v = dx/dt
v = Aω cos (ωt + φ),
y ahora,
echando un vistazo a la relación (x = Asen (ω t +Φ), se ve que v = ω. √A2 – x2, siendo esta la relación entre v y x buscada.
(√ equivale a raíz cuadrada)
Aceleración
La
aceleración a la que se encuentra sometido un móvil que describe un movimiento
armónico simple se puede obtener teniendo presente y que a =
dv/ dt2. Por tanto
a = −Aω2 sen (ωt + φ).
Si queremos obtener una relación de la
aceleración con respecto a la posición del móvil podemos recurrir a observar la
similitud entre la ecuación anterior y la que describe la ecuación de
movimiento de un m.a.s., o bien utilizando las leyes de Newton y Hooke poner
que
F = m.a = −Kx ⇒ a = − K/m X
Energía
Energía
cinética Partiendo
de la relación de la energía cinética de un móvil, y de la ecuación de
velocidad del m.a.s. se tiene que
Ec = 1/2 K cos2(ωt + φ),
o,
relacionándolo con la posición
Ec = 1/2 K (A2
– x2)
Energía potencial ¿Es conservativo el movimiento armónico
simple? ¿Podemos definir un potencial para ´el? La respuesta es sí, por
tratarse de una fuerza central. En este caso ¿cuál será el potencial? siendo
ahora ya muy sencillo identificar la energía potencial en una posición x como
Ep(x)= 1/2
Kx2
Aunque
estemos haciendo un estudio unidimensional, no por ello dejamos de tener una
fuerza central Física General.
Energía mecánica
Para
obtener la energía mecánica o total puesta en juego en un
movimiento armónico simple sumaremos las energías potencial y cinética respecto
a la posición. Así tendremos que
Energía total (ET) =
1/2 K (A2 – x2) + 1/2 Kx2 = 1/2 A2.
Nota ¦ En el movimiento armónico simple
se ve, de una forma que casi roza en lo magistral, lo que la conservación de la
energía supone en física. En este caso toda la energía está dada por la fórmula
1/2A2, que es la energía
potencial máxima que alcanza el muelle por separarle una distancia A de su posición
de equilibrio. Más tarde, cuando empieza el movimiento, ´este va adquiriendo energía
cinética, siempre a costa de su energía potencial, y por tanto acercándose a la
posición de equilibrio. Cuando el móvil se encuentra en la posición de
equilibrio su energía potencial es nula, pero el cuerpo conserva una cantidad
de energía cinética que se ira ahora utilizando en comprimir otra vez el muelle
hasta su amplitud máxima, y que contribuirá, por tanto, a incrementar
nuevamente la energía potencial. En cualquier caso, la suma de ambas nos dará
la energía máxima puesta en juego, que se conserva.
Ampliación ◦ En un muelle real la conservación
de la energía no se cumple, ya que siempre existen perdidas por rozamiento.
Estas pérdidas dan lugar a lo que se denomina un movimiento armónico simple
amortiguado, ya que la amplitud va disminuyendo poco a poco, informándonos a su
vez de la cantidad de energía que se está perdiendo. Una forma de solucionar
este fenómeno es aportando algo de energía extra al móvil, para contrarrestar
la que pierde por rozamiento. Esto puede dar lugar a resonancias y otros fenómenos
físicos muy interesantes.
El péndulo simple
Hay ciertos
sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo
simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un
campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo
colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilación
periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las fuerzas que
se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y
cuáles no. Esto se puede. Vemos pues que, considerando únicamente el
desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir, el arco que se está
recorriendo, podemos poner
ml d2 α/ dt2+ mg sen(α) = 0
donde no
hemos hecho sino aplicar la segunda ley de Newton. Esto se puede ver
considerando que el arco es lα y, como l es la longitud del hilo y es constante, la aceleración será l d2α/dt2. Por otra parte, aplicando F = m.a, en este caso la fuerza es sólo
la de la gravedad, mg que se
descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión, más otra, que
es la que hace que exista movimiento en la trayectoria marcada por el arco.
Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolver y por ello recurrimos a
la aproximación siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño,
Esta
ecuación es absolutamente análoga a la del movimiento armónico simple, y por lo
tanto su solución será
(x = A sen (ωt + φ)) teniendo, únicamente, la precaución de
su8stituir el valor de ω antiguo por el que tiene ahora para
el péndulo.
ω =√ g/l
√ equivale a raíz cuadrada
a partir de
aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el
periodo, frecuencia, etc.
Oscilaciones
de pequeña amplitud
Cuando
el ángulo θ es
pequeño entonces, sinθ ≈
θ.
La ecuación diferencial que describe las oscilaciones del péndulo se escribe
d2 θ/dt2
+ g/l θ = 0
Cuya
solución es
θ = θ0 ·sen(ωt+φ)
Donde
θ0 es
la amplitud, frecuencia angular ω2=g/l y
periodo T =2π/ω
La
amplitud θ0 y
la fase inicial φ se
determinan a partir de las condiciones iniciales. El periodo del péndulo es:
T=2π √l/g →
2π√ longitud del péndulo/aceleración de la gravedad
√ equivale a raíz cuadrada
Tomado de: Física general, Ignacio Martin
Bragado, 2003.
TALLER
.- se realizara un mapa mental del tema, aspecto que se explico en clase, si es necesario se debe repasar los mapas mentales en google imágenes para reforzar.
.- s vídeos a continuación llevan explicaciones sobre el tema con ejercicios resueltos, deben hacerlos en sus cuadernos y repasarlos
